【题目】已知函数,
,对于任意的
,总存在
,使得
成立,则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
先求出函数f(x)的值域A,设函数g(x)的值域为B,讨论m的取值,求出g(x)的值域,根据题意,有AB,由数集的概念,求出m的取值范围.
∵函数f(x)=2x=2
(x+2)+2=3
,
∴当x∈[﹣2,2]时,2≤f(x)≤3,
∴f(x)的值域是[2,3];
又当x∈[﹣2,2]时,
①若m<﹣2,则g(x)=x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2,2]上是增函数,最小值g(﹣2)=9m+2,最大值g(2)=m+2;
∴g(x)的值域是[9m+2,m+2],
∴[2,3][9m+2,m+2],
即,解得﹣1≤m≤0,此时无解;
②若m>2,则g(x)=x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2,2]上是减函数,最小值g(2)=m+2,最大值g(﹣2)=9m+2;
∴g(x)的值域是[m+2,9m+2],
∴[2,3][m+2,9m+2],
即,解得
m≤0,此时无解;
③若﹣2≤m≤2,则g(x)=x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2,2]上是先减后增的函数,
最小值是g(m)=﹣m2+5m﹣2,最大值是max{g(﹣2),g(2)}=max{9m+2,3m+2};
∴当m≥0时,g(x)的值域是[﹣m2+5m﹣2,9m+2],
∴[2,3][﹣m2+5m﹣2,9m+2],
即,
解得m≤1,或m≥4(不符合条件,舍去);
则取m≤1;
当m<0时,g(x)的值域是[﹣m2+5m﹣2,m+2],
∴[2,3][﹣m2+5m﹣2,m+2],
即;
解得m=1,或m≥4,不符合条件,舍去;
综上知,实数m的取值范围是:[,1].
故答案为:[,1].
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线C:,点
在x轴的正半轴上,过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点,O为坐标原点.
若
,且直线l的斜率为1,求证:以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切;
是否存在定点M,使得不论直线l绕点M如何转动,
恒为定值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知、
是椭圆
(
)的左、右焦点,过
作
轴的垂线与
交于
、
两点, 与
轴交于点
,
,且
,
为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设为椭圆
上任一异于顶点的点,
、
为
的上、下顶点,直线
、
分别交
轴于点
、
.若直线
与过点
、
的圆切于点
.试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对于任意的
都有
,若存在,求出点
的
坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
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