【题目】函数的定义域为
,且对任意
,有
,且当
时
.
(1)证明:是奇函数;
(2)证明:在
上是减函数;
(3)求在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) 最大值是6,最小值是-6.
【解析】
(1)令x=y=0,则可得f(0)=0;y=﹣x,即可证明f(x)是奇函数,
(2)设x1>x2,由已知可得f(x1﹣x2)<0,再利用f(x+y)=f(x)+f(y),及减函数的定义即可证明.
(3)由(2)的结论可知f(﹣3)、f(3)分别是函数y=f(x)在[﹣3、3]上的最大值与最小值,故求出f(﹣3)与f(3)就可得所求值域.
(1)因为的定义域为
,且
,
令得
,所以
;
令,则
,所以
,
从而有,所以
,所以
是奇函数.
(2)任取,且
,
则
,
因为,所以
,所以
,所以
,
所以,从而
在
上是减函数.
(3)由于在
上是减函数,
故在区间
上的最大值是
,最小值是
,
由于,所以
,
由于为奇函数知,
,
从而在区间
上的最大值是6,最小值是
6.
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【题目】为了了解某城市居民用水量情况,我们抽取了100位居民某年的月均用水量(单位:吨)并对数据进行处理,得到该100位居民月均用水量的频率分布表,并绘制了频率分布直方图(部分数据隐藏).
(1)确定表中的与
的值;
(2)在上述频率分布直方图中,求从左往右数第4个矩形的高度;
(3)在频率分布直方图中画出频率分布折线图.
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【题目】已知,命题
方程
表示焦点在
轴上的椭圆,命题
方程
表示双曲线.
(1)若命题是真命题,求实数
的范围;
(2)若命题“或
”为真命题,“
且
”是假命题,求实数
的范围.
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【题目】如图,已知椭圆=1(a>b>0),F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若=2
,
·
=
,求椭圆的方程.
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【题目】某海产品经销商调查发现,该海产品每售出吨可获利
万元,每积压
吨则亏损
万元.根据往年的数据,得到年需求量的频率分布直方图如图所示,将频率视为概率.
(1)请补齐上的频率分布直方图,并依据该图估计年需求量的平均数;
(2)今年该经销商欲进货吨,以
(单位:吨,
)表示今年的年需求量,以
(单位:万元)表示今年销售的利润,试将
表示为
的函数解析式;并求今年的年利润不少于
万元的概率.
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