Question

如图：在面积为1的DPMN中，tanÐPMN=，tanÐMNP=-2，试建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。

Answer 1

【错解分析】通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解依题意：
坐标系的选择是显然的，（如图），从而椭圆方程为：，以下所要解决的问题就是怎样根据题目的条件来确定a、b了（待定系数法）。

【正解】如图：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

设以M、N为焦点且过点P的椭圆方程为：(a>b>0)，
焦点为M(-c，0)，N(c，0)(c>0)。由tanÐPMN=，tanÐMNP=-2知：直线MP的斜率为 ，直线PN的斜率为2所以直线MP、NP的方程分别为：和y=2(x-c)将此两方程联立解得：，即P点的坐标为。在DMNP中，|MN|=2c，MN边上的高即为P点的纵坐标
解得，即P点坐标为。再由两点间距离公式求得：由椭圆的定义可得：。又：故：所求椭圆的方程为：。