Question

（本小题满分13分）
已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且
，求直线l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a>0），短半轴长为b（b>0），
则2b=4，。            2分
解得a=4，b=2。                      3分
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为标准方程，且为。     5分
（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）,     6分
由方程组，消去y，
得，      7分
由题意，得， 8分
且，  9分
因为
， 11分
所以，解得m=±2,
验证知△＞0成立，
所以直线l的方程为。      13分
点评：直线与椭圆相交问题常借助与韦达定理设而不求简化计算，本题涉及到的弦长公式，其中k是直线斜率，是两交点横坐标