Question

9．若关于x的方程1og₂（2^x-1）=m+1og₂（2^x+1）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围1og₂$\frac{1}{3}$≤m≤1og₂$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 1og₂（2^x-1）=m+1og₂（2^x+1）在[1，2]上有解，m=1og₂（2^x-1）-1og₂（2^x+1）=1og₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$在[1，2]上有解，从而可得答案．

解答 解：∵1og₂（2^x-1）=m+1og₂（2^x+1）在[1，2]上有解，
∴m=1og₂（2^x-1）-1og₂（2^x+1）=1og₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$在[1，2]上有解，
而y=1og₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$在为增函数，
∴1og₂$\frac{2-1}{2+1}$≤m≤1og₂$\frac{4-1}{4+1}$，即1og₂$\frac{1}{3}$≤m≤1og₂$\frac{3}{5}$．
故答案为：1og₂$\frac{1}{3}$≤m≤1og₂$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算能力，属于中档题．