Question

4．已知奇函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$的定义域为R．
（1）求实数a，b的值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在两个不同点，使得过这两个点的直线与x轴平行，如果存在，求出这两个点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0恒成立，试指出实数k是否存在最大值及最小值，证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质f（0）=0，及f（-1）+f（1）=0，可得a=2，b=1，注意检验；
（2）将f（x）变形，运用指数函数的单调性，可判断f（x）在R上递减，进而判断不存在两点；
（3）运用f（x）的单调性，以及参数分离和恒成立思想，由二次函数的性质求得最小值，即可得到k的范围，进而得到k的最大值．

解答 解：（1）奇函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$的定义域为R，
即有f（0）=0，即b-1=0，解得b=1；
又f（-1）+f（1）=0，即$\frac{1-\frac{1}{2}}{a+1}$+$\frac{1-2}{a+4}$=0，
解得a=2，
即有f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$，
由f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{2（1+{2}^{-x}）}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$=-f（x），
则f（x）为奇函数，故a=2，b=1；
（2）由f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$
=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，
由y=2^x在R上递增，
可得f（x）在R上递减，
故在函数f（x）的图象上不存在两个不同点，
使得过这两个点的直线与x轴平行；
（3）对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0恒成立，
即有f（t²-2t）≤-f（2t²-k）=f（k-2t²），
由f（x）在R上递减，可得
t²-2t≥k-2t²，
即k≤3t²-2t恒成立，
由3t²-2t≥-$\frac{1}{3}$，
故k≤-$\frac{1}{3}$．
则k存在最大值，且为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的单调性的判断和运用，同时考查参数分离和恒成立思想，属于中档题．