Question

17．已知函数f（x）=log_a（1+x）g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1，h（x）=f（x）-g（x）．
（I）若a=3．求出函数F（x）=h（x）-1的零点；
（Ⅱ）解关于x的不等式h（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=3时，令F（x）=0便可得到$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{3}3$，从而解$\frac{1+x}{1-x}=3$即可得出函数F（x）的零点；
（Ⅱ）由h（x）≤0便可得到log_a（1+x）≤log_a（1-x），讨论0＜a＜1，和a＞1，然后根据对数函数y=log_ax的单调性及其定义域便可得出关于x的方程组，解方程组即可得到原不等式的解．

解答 解：（Ⅰ）a=3时，令F（x）=log₃（1+x）-log₃（1-x）-1=0得：
$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{3}3$；
∴$\frac{1+x}{1-x}=3$；
解得$x=\frac{1}{2}$；
即F（x）的零点是$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）；
∴由h（x）≤0得：log_a（1+x）≤log_a（1-x）；
①若0＜a＜1，则：$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥1-x}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$；
∴0≤x＜1；
∴原不等式的解集为[0，1）；
②若a＞1，则：$\left\{\begin{array}{l}{1+x≤1-x}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$；
∴-1＜x≤0；
∴原不等式的解集为（-1，0]．

点评 考查函数零点的概念，对数的运算，对数函数的单调性，以及根据对数函数的单调性解不等式．