Question

2．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y+1≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$求z=3x+y的最大值；
变：
（1）求z₁=3x-y的最小值；
（2）求u=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值；
（3）求t=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，分别利用直线截距，直线的斜率，以及两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z（红线）由图象可知当直线y=-3x+z经过点B（1，1）时y=-3x+z的截距最大，此时z最大．
代入z=3x+y得z=3+1=4．
即目标函数z=3x+y的最大值为4．
（1）由z₁=3x-y得y=3x-z₁，平移直线y=3x-z₁，（蓝线）由图象可知当直线y=3x-z₁经过点A（-1，0）时y=3x-z₁的截距最大，此时z₁最小．代入z₁=3x-y得z₁=-3-1=-4．
（2）u=$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是区域内的点到定点D（-1，-1）的斜率，
由图象知BD的斜率最小，此时u=$\frac{1+1}{1+1}=1$，无最大值．
（3）t=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$的几何意义是区域内的点到定点D（-1，-1），
由图象知AD的距离最小，此时t=1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，分别利用直线截距，直线的斜率，以及两点间的距离公式是解决本题的关键．