Question

13．已知实数x满足不等式2（log₂x）²-7log₂x+3≤0
（1）求实数x所满足的取值范围
（2）求函数f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$的最值．

Answer 1

分析 （1）令log₂x=t，解关于t的不等式2t²-7t+3≤0结合对数的性质可得答案；
（2）化简可得f（x）=（log₂x）²-3log₂x+2，由$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3结合二次函数区间的最值可得．

解答 解：（1）令log₂x=t，则2t²-7t+3≤0，
解得$\frac{1}{2}$≤t≤3，即$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
由对数可得$\sqrt{2}$≤x≤8
∴实数x所满足的取值范围为[$\sqrt{2}$，8]；
（2）化简可得f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$
=（log₂x-1）（log₂x-2）
=（log₂x）²-3log₂x+2，
∵$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
∴当log₂x=$\frac{3}{2}$时，函数取最小值-$\frac{1}{4}$；
当log₂x=3时，函数取最大值2．

点评 本题考查对数不等式的解法，涉及函数的最值和对数的性质，属中档题．