Question

1．已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求使f（x）取得最大值的x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．代入可得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1．于是f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，令$sin（2x+\frac{π}{3}）$=1，解得x即可．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x即可得出单调递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}=a$+$\frac{1}{2}b$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
联立解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1．
∴f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}•\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
令$sin（2x+\frac{π}{3}）$=1，解得$2x+\frac{π}{3}$=2$kπ+\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）．
∴使f（x）取得最大值1的x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）}．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．