Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1+3x}{1-3x}$．
（1）判断函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，3]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）变形得出函数f（x）=$\frac{1+3x}{1-3x}$=$\frac{2}{1-3x}$-1，利用函数单调性的定义判断证明．
（2）根据函数的单调性求解最大值，最小值即可得出值域．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1+3x}{1-3x}$=$\frac{2}{1-3x}$-1，
（1）函数的定义域为（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），
设x₁，x₂∈（$\frac{1}{3}$，+∞），x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1-3{x}_{1}}$-1$-\frac{2}{1-3{x}_{2}}$+1=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-3{x}_{1}）（1-3{x}_{2}）}$，
∵x₁，x₂∈（$\frac{1}{3}$，+∞），x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1-3x₁＜0，1-3x₂＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）单调递增；
同理可得出：函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）单调递增．
（2）∵x∈[1，3]时，f（x）单调递增，
∴f（x）_大=f（3）=$\frac{10}{-8}$=$\frac{5}{4}$，
f（x）_小=f（1）=$\frac{4}{-2}$=-2，
∴函数f（x）的值域：[-2，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查了函数的单调性的判断，运用求解值域问题，属于容易题，关键函数的变形．