Question

15．若函数f（x）=lg（kx²-2kx+2+k）的定义域为R，则实数k的取值范围是[0，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，kx²-2kx+2+k＞0（1）的解集为R，可以看出需讨论k：k=0时，容易判断不等式（1）的解集为R；k≠0时，不等式（1）为一元二次不等式，从而k需满足$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，这样解出k的范围，并合并k=0便可得出实数k的取值范围．

解答 解：f（x）的定义域为R；
∴kx²-2kx+2+k＞0的解集为R；
①若k=0，2＞0恒成立；
②若k≠0，则：$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=4{k}^{2}-4k（2+k）＜0}\end{array}\right.$；
解得k＞0；
∴实数k的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．

点评 考查对数函数的定义域，一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为R时，需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，不要漏了k=0的情况．