Question

7．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为$\frac{1}{2}$，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：
（Ⅰ）乙取胜的概率；
（Ⅱ）设比赛局数为X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，由此能求出甲先赢了前两局，乙取胜的概率．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，
第一种情况下乙取胜的概率为：$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
第二种情况下乙取值的概率为：${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{8}$，
∴甲先赢了前两局，乙取胜的概率：
P=$\frac{1}{16}+\frac{1}{8}$=$\frac{3}{16}$．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为4，5，6，7，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=5）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=6）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
P（X=7）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）+{C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
∴X的分布列为：

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．