Question

12．如图所示，在△AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得A为钝角．过点A作AC⊥OA交OB于点C，则OC=4．BC=1．即可得出．

解答 解：由余弦定理可得：AB²=2²+5²-2×2×5×cos60°=19，∴AB=$\sqrt{19}$．
∴$cosA=\frac{{2}^{2}+（\sqrt{19}）^{2}-{5}^{2}}{2×2×\sqrt{19}}$＜0，
∴A为钝角．
①过点A作AC⊥OA交OB于点C，
则OC=$\frac{OA}{cos6{0}^{°}}$=4．
∴BC=5-4=1．
②过点A作AD⊥OC，垂足为D，可得：OD=$\frac{1}{2}$OA=1．
综上可得：△AOC为钝角三角形的概率=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了解三角形、概率与统计，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．