Question

1．定义[-1，1]上的奇函数f（x）是减函数，且f（1-a）+f（1-a²）＞0，则实数a的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据题意，将题中不等式转化成f（1-a）＜-f（1-a²），利用f（x）是定义在[-1，1]上的减函数得到关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答 解：由f（1-a）+f（1-a²）＞0，得f（1-a）＞-f（1-a²）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（1-a²）=f（a²-1）．
于是f（1-a）＞f（a²-1）．
又由于f（x）在[-1，1]上是减函数，
因此$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜{a}^{2}-1}\\{-1≤1-a≤1}\\{-1≤{a}^{2}-1≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤$\sqrt{2}$．
故答案为（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题给出函数的单调性，求解关于a的不等式．着重考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．