Question

10．已知数列{a_n}是正项数列，且对于任意的n∈N^*，a_n，S_n，a_n²都成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=a_n（$\frac{1}{3}$）ⁿ，数列{b_n}的前n项和是T_n，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n，S_n，a_n²成等差数列，且a_n＞0可得2S_n=a_n+a_n²，令n=1，n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，进而可求公差，代入等差数列的通项公式可；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到．

解答 解：（1）∵a_n，S_n，a_n²成等差数列，且a_n＞0，
∴2S_n=a_n+a_n²，①
当n=1时，有2a₁=a₁+a₁²∴a₁=1，
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，②
①-②可得，2a_n=a_n-a_n-1+（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
化简得a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是1为首项，1为公差的等差数列，
则a_n=1+n-1=n；
（2）b_n=a_n（$\frac{1}{3}$）ⁿ=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+3•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减，可得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项，数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．