Question

19．曲线${C_1}：{x^2}+{（y-4）^2}=1$，曲线${C_2}：y=\frac{1}{2}{x^2}$，EF是曲线C₁的任意一条直径，P是曲线C₂上任一点，则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最小值为6．

Answer 1

分析 设F（cosθ，4+sinθ），可得E（-cosθ，4-sinθ）．设P$（t，\frac{1}{2}{t}^{2}）$，可得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$\frac{1}{4}（{t}^{2}-6）^{2}+6$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设F（cosθ，4+sinθ），∵EF是曲线C₁的任意一条直径，则E（-cosθ，4-sinθ）．
设P$（t，\frac{1}{2}{t}^{2}）$，
则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（-cosθ-t，4-sinθ-$\frac{1}{2}{t}^{2}$）•（cosθ-t，4+sinθ-$\frac{1}{2}{t}^{2}$）=t²-cos²θ+$（4-\frac{1}{2}{t}^{2}）^{2}-si{n}^{2}θ$
=$\frac{1}{4}{t}^{4}-3{t}^{2}+15$
=$\frac{1}{4}（{t}^{2}-6）^{2}+6$≥6，
当$t=±\sqrt{6}$时，取等号．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最小值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查了向量数量积的坐标运算、圆与抛物线的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．