Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，AD=1，若$\overrightarrow{DE}=t\overrightarrow{DC}$，AE⊥BD，则实数t的值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根据AE⊥BD便有$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=0$，根据条件，可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$分别表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$，然后进行数量积的运算便可得到关于t的方程，解方程便可得出实数t的值．

解答 解：AE⊥BD；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=0$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DA}=t\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$=$t\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$；
∴$（t\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$（t-1）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-t{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$=-（t-1）-4t+1=0；
∴$t=\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式．