Question

3．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+n}{{2}^{x+1}+m}$是奇函数．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）若任意的t∈[-1，1]，不等式f（t²-a）+f（at-2）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质：过原点，f（-x）=-f（x）代入求得m，n的值；
（2）利用奇函数的性质和单调性得出f（t²-a）≥f（2-at），由二次函数的性质得出满足a的范围，进而求出a的范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
即$\frac{n-1}{m+2}$=0解得n=1．
f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{m+{2}^{x+1}}$
又由f（1）=f（-1）知$\frac{1-2}{m+4}=-\frac{\frac{1}{2}}{m+1}$
解得m=2…（4分）
经检验，m=2，n=1…（5分）
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1-2x}{2+2x+1}$，f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又∵f（x）是奇函数，∴f（t²-a）≥-f（at-2）
即f（t²-a）≥f（2-at）
∵f（x）为减函数，得t²-a≤2-at．
即任意的t∈[-1，1]，有t²-a+at-2≤0．
∴$\left\{\begin{array}{l}f′（1）=1+a-a-2≤0\\ f′（-1）=1-a-a-2≤0\end{array}$，可得a≥-$\frac{1}{2}$．

点评 考察了奇函数的性质和二次函数的性质，属于常规题型，应熟练掌握．