Question

13．设命题p：?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}{x^2}$-lnx-a≥0，命题q：?x₀∈R，使得x₀²+2ax₀-8-6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：$?x∈[{1，2}]，a≤\frac{1}{2}{x^2}-lnx$，令$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx，x∈[{1，2}]$，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出；命题q：x²+2ax-8-6a≤0解集非空，△=≥0，基础a的范围．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．即可得出．

解答 解：命题p：$?x∈[{1，2}]，a≤\frac{1}{2}{x^2}-lnx$，
令$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx，x∈[{1，2}]$，
$f'（x）=x-\frac{1}{x}$=$\frac{{{x^2}-1}}{x}＞0$，
∴f_min（x）=f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴$a≤\frac{1}{2}$．
命题q：x²+2ax-8-6a≤0解集非空，△=4a²+24a+32≥0，∴a≤-4，或a≥-2．
命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．
（1）当p真q假，-4＜a＜-2；
（2）当p假q真，$a＞\frac{1}{2}$
综合，a的取值范围$（{-4，-2}）∪（{\frac{1}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究其单调性极值与最值、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．