Question

2．某商店计划每天购进某商品若干千件，商店每销售一件该商品可获利涧50元，供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外徘调剂，此时每件调剂商品可获利30元．
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N^*）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）．整理得下表：

日需求量	8	9	10	11	12
频数	9	11	15	10	5

若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及平均值．

Answer 1

分析 （1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y_利润，当n＞10时，y_利润，由此能求出当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式．
（2）由已知得X的可能取值为380，440，500，530，560，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和平均值．

解答 解：（1）当1≤n≤10时，y_利润=50n+（10-n）×（-10）=60n-100，
当n＞10时，y_利润=50×10+（n-10）×30=30n+200，
所以函数解析式y_利润=$\left\{\begin{array}{l}{30n+200，n＞10}\\{6n-100，1≤n≤10}\end{array}\right.$．
（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8-10×2=380，
日需求量为9，频数11天，利润为50×9-10×1=440，
日需求量为10，频数15，利润为50×10=500，
日需求量为11，频数10，利润为50×10+30=530，
日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560，
∴X的可能取值为380，440，500，530，560，
P（X=380）=$\frac{9}{50}$，P（X=440）=$\frac{11}{50}$，P（X=500）=$\frac{15}{50}$，P（X=530）=$\frac{10}{50}$，P（X=560）=$\frac{5}{50}$，
∴X的分布列为：

X	380	440	500	530	560
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{11}{50}$	$\frac{15}{50}$	$\frac{10}{50}$	$\frac{5}{50}$

平均值EX=$380×\frac{9}{50}+440×\frac{11}{50}+500×\frac{15}{50}+530×\frac{10}{50}$+$560×\frac{5}{50}$=477.2（元）．

点评 本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题