Question

11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x+$\frac{π}{3}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象可得A=2，由周期公式可得ω=2，代入点（$\frac{π}{3}$，2）可得φ=-$\frac{π}{6}$，可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）结合和差角的三角函数公式可得g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]结合三角函数的性质可得．

解答 解：（1）由图象可得A=2，$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{3}$，解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），代入点（$\frac{π}{3}$，2）可得
2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=2，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）可得g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x+$\frac{π}{3}$）
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）-2cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．