Question

3．以{a_n}是首项为1的正项数列且（n+1）a²_n+1-na²_n+a_n+1•a_n=0（n∈N^*），求a_n．

Answer 1

分析 由（n+1）a²_n+1-na²_n+a_n+1•a_n=0，化为[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，由于{a_n}是首项为1的正项数列，可得（n+1）a_n+1=na_n，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵（n+1）a²_n+1-na²_n+a_n+1•a_n=0，
∴[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，
∵{a_n}是首项为1的正项数列，
∴（n+1）a_n+1=na_n，
∴数列{na_n}是等比数列，首项与公比都为1．
∴na_n=1，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．