Question

15．已知函数f（x）=-x³+x²+bx+c的图象经过原点，且x=0是该函数的一个极值点．
（1）求f（x）的解析式，并求该函数的极大值和极小值；
（2）设g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＜1）}\\{mlnx（x≥1）}\end{array}\right.$，求g（x）在[-1．e]上的最大值；
（3）曲线y=g（x）上是否存在两点P，Q，对于任意m＞0，都满足0P⊥0Q，且线段PQ被y轴平分？

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=0，b=0，求得导数，求得单调区间和极值；
（2）分别求得-1≤x＜1的最大值，对m讨论，由对数函数的单调性，即可得到所求最大值；
（3）假设曲线y=g（x）上存在两点P，Q，对于任意m＞0，都满足0P⊥0Q，且线段PQ被y轴平分．设P的坐标，讨论Q的位置，结合中点坐标公式和直线斜率之积为-1，即可判断．

解答 解：（1）函数f（x）=-x³+x²+bx+c的图象经过原点，
即有c=0，f（x）的导数为f′（x）=-3x²+2x+b，
x=0是该函数的一个极值点，即为f′（0）=0，
解得b=0，
则f（x）=-x³+x²，
由f′（x）=-3x²+2x，当0＜x＜$\frac{2}{3}$时，f（x）递增；
当x＞$\frac{2}{3}$或x＜0时，f（x）递减．
即有x=0处取得极小值且为0；
x=$\frac{2}{3}$处取得极大值，且为$\frac{4}{27}$；
（2）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＜1）}\\{mlnx（x≥1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{x}^{3}，x＜1}\\{mlnx，x≥1}\end{array}\right.$，
当-1≤x＜1时，g（x）在[-1，0）递减，（0，$\frac{2}{3}$）递增，（$\frac{2}{3}$，1）递减，
即有x=$\frac{2}{3}$取得最大值，且为$\frac{4}{27}$；
当x≥1时，m=0时，g（x）=0；m＜0，g（x）≤0；
m=$\frac{4}{27}$时，g（x）在[1，e]递增，x=e取得最大值$\frac{4}{27}$；
m＞$\frac{4}{27}$，g（x）在[1，e]递增，x=e取得最大值m；
0＜m＜$\frac{4}{27}$时，g（x）在[1，e]递增，x=e取得最大值m．
综上可得，当m≤0时，最大值为$\frac{4}{27}$；
当m≥$\frac{4}{27}$时，最大值为m；0＜m＜$\frac{4}{27}$时，最大值为$\frac{4}{27}$；
（3）曲线y=g（x）上存在两点P，Q，对于任意m＞0，
都满足0P⊥0Q，且线段PQ被y轴平分．
不妨设P（a，a²-a³），若Q在x＜1的图象上，则Q（-a，a²+a³），
由$\frac{{a}^{2}-{a}^{3}}{a}$•$\frac{{a}^{2}+{a}^{3}}{-a}$=-1，即有a²-a⁴=1，无解；
若Q在x≥1的图象上，则Q（-a，mln（-a）），
即有$\frac{{a}^{2}-{a}^{3}}{a}$•$\frac{mln（-a）}{-a}$=-1，即为（a-1）•mln（-a）=1，
对任意m＞0，不存在a＜0成立．
故曲线y=g（x）上不存在两点P，Q，对于任意m＞0，
都满足0P⊥0Q，且线段PQ被y轴平分．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查最值的求法，考查存在性问题的解法，属于中档题．