Question

17．函数f（x）=log₂（x²-3x+3）的单调增区间是（$\frac{3}{2}$，+∞）；单调减区间是（-∞，$\frac{3}{2}$）．
函数f（x）=log_0.5（x²-2x-3）的单调增区间是（-∞，-1）；单调减区间是（3，+∞）．

Answer 1

分析 （1）判断定义域，（-∞，+∞），u=x²-3x+3，在（-∞，$\frac{3}{2}$）单调递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，根据复合函数的单调性质的规律得出单调性即可．
（2）利用不等式x²-2x-3＞0，即x＞3或x＜-1，定义域为（-∞，-1）（3，+∞），利用复合函数的单调性规律求解判断．

解答 解：（1）设u=x²-3x+3，
∵x²-3x+3＞0恒成立，
∴函数f（x）=log₂（x²-3x+3）的定义域为（-∞，+∞）
∵u=x²-3x+3，在（-∞，$\frac{3}{2}$）单调递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增
∴根据复合函数的单调性质的规律得出：f（x）=log₂（x²-3x+3）的单调增区间是（$\frac{3}{2}$，+∞）；单调减区间是（-∞，$\frac{3}{2}$）；
故答案为：（$\frac{3}{2}$，+∞），（-∞，$\frac{3}{2}$）
（2）设u=x²-2x-3，
∵x²-2x-3＞0，即x＞3或x＜-1
∴定义域为（-∞，-1）（3，+∞）
∵u=x²-2x-3，在（-∞，-1）单调递减，在（3，+∞）单调递增
∴根据复合函数的单调性质的规律得出：f（x）=log_0.5（x²-2x-3）的单调增区间是（-∞，-1）；单调减区间是：（3，+∞）
故答案为：（-∞，-1）（3，+∞）

点评 本题考查了对数函数的性质，复合函数的单调性的规律，关键判断定义域的限制，属于中档题，很容易出错．