Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2$\sqrt{3}$asinB=5c，tanB=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2$\sqrt{3}$asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA的关系，求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）根据余弦定理求得a，c，最后利用三角形面积公式即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$tanB=\frac{{5\sqrt{3}}}{11}$，得cos²B=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}$=$\frac{121}{196}$，解得：cosB=$\frac{11}{14}$，$sinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，…（1分）
又$2\sqrt{3}asinB=5c$，代入得3a=7c，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得3sinA=7sinC，…（3分）
3sinA=7sin（A+B），3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB…（5分）
得$tanA=-\sqrt{3}$，$A=\frac{2π}{3}$…（7分）
（Ⅱ）∵$A{B^2}+B{D^2}-2AB•BDcosB=\frac{19}{4}$，…（9分）
∴${c^2}+{（\frac{7}{6}c）^2}-2c•\frac{7}{6}c•\frac{11}{14}=\frac{19}{4}$，c=3，则a=7…（12分）
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•3•7\frac{{5\sqrt{3}}}{14}=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化，属于中档题．