Question

7．某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组．已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查．
（I）求每组中抽取的城市的个数；
（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分层抽样方法的特点，求出从甲、乙、丙组中应抽取的城市数；
（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）设从甲、乙、丙三组城市中应抽取的个数分别为x、y、z，
则由题意得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{8}$=$\frac{z}{12}$=$\frac{6}{24}$，…（3分）
解得，x=1、y=2、z=3；…（4分）
故从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为：1，2，3；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为为：1，2，3，
记甲组中已抽取的城市为a₁，乙组中已抽取的城市为b₁、b₂，
丙组中已抽取的城市为c₁、c₂、c₃；…（6分）
从已抽取的6个城市中任抽两个城市的所有可能为：
a₁b₁、a₁b₂、a₁c₁、a₁c₂、a₁c₃、b₁b₂、b₁c₁、b₁c₂、b₁c₃、
b₂c₁、b₂c₂、b₂c₃、c₁c₂、c₁c₃、c₂c₃共15种；…（8分）
设“抽取的两个城市不来自同一组”为事件A，
则事件A包括a₁b₁、a₁b₂、a₁c₁、a₁c₂、a₁c₃、b₁c₁、b₁c₂、b₁c₃、
b₂c₁、b₂c₂、b₂c₃共11种；…（10分）
所以P（A）=$\frac{11}{15}$；
即从已抽取的6个城市中任抽两个城市，两个城市不来自同一组的概率为$\frac{11}{15}$．…（12分）

点评 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．