Question

17．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0的解集为（　　）

• A． （-2016，0）
• B． （-2012，0）
• C． （-∞，-2016）
• D． （-∞，-2017）

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），求导g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=x（xf′（x）+2f（x）），从而可得g（x）在（-∞，0）上是减函数，从而解得．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=x（xf′（x）+2f（x）），
∵2f（x）+xf′（x）＞x²＞0，x＜0；
∴x（xf′（x）+2f（x））＜0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0可化为
（x+2015）²f（x+2015）＞4f（-2）=（-2）²f（-2），
∴x+2015＜-2，
故x＜-2017；
故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用及单调性的应用．