Question

9．如图，设α∈（0，π）且$α≠\frac{π}{2}$，当∠xOy=α时，定义平面坐标系xOy为斜坐标系，在斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e₁，e₂分别为x轴、y轴正方向相同的单位向量，若$\overrightarrow{OP}=x{e_1}+y{e_2}$，则记为$\overrightarrow{OP}=（x，y）$，那么在以下的结论中，正确的有（2）（4）（填上所有正确结论的序号）．
（1）设a=（m，n），则$|a|=\sqrt{{m^2}+{n^2}}$；
（2）设a=（m，n），b=（s，t），若a=b，则m=s，n=t；
（3）设a=（m，n），b=（s，t），若a⊥b，则ms+nt=0；
（4）设a=（m，n），b=（s，t），若a∥b，则mt-ns=0．

Answer 1

分析 把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．

解答 解：根据斜坐标的定义，$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（s，t）；
∴$\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{{e}_{1}}+n\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}=s\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}$；
（1）．$\left|\overrightarrow{a}\right|=|m\overrightarrow{{e}_{1}}+n\overrightarrow{{e}_{2}|}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}-2mncosα}$，∵α≠$\frac{π}{2}$，∴（1）错误；
（2）．若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$，根据平面向量基本定理得：m=s，n=t，∴（2）正确；
（3）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$（m\overrightarrow{{e}_{1}}+n\overrightarrow{{e}_{2}}）•（s\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}）$=ms+nt+（mt+ns）cosα≠ms+nt，∴（3）错误；
（4）．由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$得$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}$，∴s=λm，t=λn，∴mt-ns=0，故（4）正确；
所以正确的是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．

点评 本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键，属中档题．