Question

9．已知在△ABC中，存在唯一的点G，使得若$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，这个点G是△ABC的重心，那么在四边形ABCD中，是否存在唯一的点P，使得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$？若存在，请证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），P（x，y），利用$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$，建立方程求出P的坐标即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），P（x，y），则
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（x₁-x，y₁-y）+（x₂-x，y₂-y）+（x₃-x，y₃-y）+（x₄-x，y₄-y）=（0，0，0，0），
∴（x₁+x₂+x₃+x₄）-4x=0，（y₁+y₂+y₃+y₄）-4y=0，
∴x=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+x₃+x₄），y=$\frac{1}{4}$（y₁+y₂+y₃+y₄），
∴存在唯一的点P（$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+x₃+x₄），$\frac{1}{4}$（y₁+y₂+y₃+y₄），使得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．