Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，P是椭圆上的一点，且P到椭圆两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=x交椭圆于点D、E，求△PDE面积的最大值．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义得出椭圆长轴的长，再由离心率得椭圆的标准方程，最后根据直线与圆锥曲线相切求得三角形面积的最大值．

解答 解：（1）根据椭圆的定义，PF₁+PF₂=2a=4，所以，a=2，
又因为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，所以，c=1，b=$\sqrt{a^2-c^2}$=$\sqrt{3}$，
椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）联立直线y=x与椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
解得D（$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，$\frac{2\sqrt{21}}{7}$），E（-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$），∴DE=$\frac{4\sqrt{42}}{7}$，
由几何关系可知，当P到DE的距离最大时，△PDE的面积取得最大值，
设此时切线的方程为y=x+m，代入椭圆方程得，7x²+8mx+4m²-12=0，
由△=64m²-28（4m²-12）=0，解得m=±$\sqrt{7}$，
点P到直线y=x的距离就是两平行线y=x，y=x+$\sqrt{7}$间的距离，即d=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
所以，△PDE面积的最大值为S_△PDE=$\frac{1}{2}$•DE•d=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的定义和简单几何性质，椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，充分考查了确定几何最值的思想与方法，属于中档题．