Question

已知x，y满足约束条件

x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3

，
（1）求z=2x-y的最小值；
（2）求z=

x2+y2+4x+2y+5

的最小值和最大值；
（3）求z=

x+y-5

x-4

的取值范．

Answer 1

分析：（1）画出约束条件

x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3

，表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x-y的最小值．
（2）利用几何意义求出可行域内的点到（-2，-1）的距离即可．
（3）化简表达式，利用几何意义直线的斜率求解即可．

解答：解：（1）由z=2x-y，得y=2x-z，作出约束条件

x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3

对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x-z，由平移可知当直线y=2x-z，
经过点C时，直线y=2x-z的截距最大，此时z取得最小值，
由

x-y+6=0 x+y=0

，解得

x=-3 y=3

，即C（-3，3）．
将C（-3，3）的坐标代入z=2x-y，得z=-6-3=-9，
即目标函数z=2x-y的最小值为-9．
（2）z=

x2+y2+4x+2y+5

=

(x+2)2+(y+1)2

，所求最值就是可行域内的点到（-2，-1）的距离的最小值和最大值．
点M到直线x+y=0的距离：

|-2-1|

2

=

3 2

2

．所以最小值为：

3 2

2

．
最大值为：MA的距离：

(3+2)2+(9+1)2

=5

5

．
（3）z=

x+y-5

x-4

=1+

y-1

x-4

，所求z的取值范围．就是P与可行域内的点连线的斜率加1的范围，
K_PN=

1+3

4-3

=4．K_PA=

9-1

3-4

=-8，
∴z的范围是：[-7，5]．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．