Question

如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.

（1）当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；

（2）过点作直线交于点，记的外接圆为圆.

①求证:圆心在定直线上；

②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)(2)①略②.

【解析】

试题分析：(1)根据题意，，，求出，可得到方程；(2)①解法一：根据题意写出的坐标，线段的中垂线的交点就是圆心，将圆心坐标代入中，可得证；解法二：设出一般方程，将三点的坐标代入，联立求解；②根据①，写出圆系方程，联立方程解得该定点.

试题解析：(1)设椭圆的方程为,

当时, 的中点为，则                                   1分

而,所以，                                            2分

故椭圆的标准方程为                                           3分

 (Ⅱ)①解法一:易得直线，直线

可得,再由,得                      5分

则线段的中垂线方程为,                                         6分

线段的中垂线方程为,                                 7分

由,                                                    8分

解得的外接圆的圆心坐标为                              9分

经验证,该圆心在定直线上                                   10分

②由①可得圆C的方程为                  11分

该方程可整理为,

则由,解得或,                        13分

所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为                      14分

解法二: 易得直线，直线           5分

所以可得,                                            6分

再由,得                                               7分

设的外接圆的方程为,

则,                                   8分

解得圆心坐标为,                                          9分

经验证,该圆心在定直线上                                10分

②由①可得圆C的方程为                    11分

该方程可整理为,

则由,解得或,                           13分

所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为                         14分

考点：椭圆的定义及基本性质，三角形外接圆.