Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E，F分别是AD，PC的中点，证明：PC⊥平面BEF．

Answer 1

分析：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，欲证PC⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面BEF内两相交直线垂直，而利用空间向量可求得PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，满足定理条件．

解答：解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP=AB=2，BC=AD=2

2

，四边形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2

2

，0），D（0，2

2

，0），P（0，0，2）
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E（0，

2

，0），F（1，

2

，1）．
∴

PC

=（2，2

2

，-2），

BF

=（-1，

2

，1），

EF

=（1，0，1），
∴

PC

•

BF

=-2+4-2=0，

PC

•

EF

=2+0-2=0，
∴

PC

⊥

BF

，

PC

⊥

EF

，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及利用空间向量求证两直线垂直，属于基础题．