Question

椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k_OM•k_AB=-

b2

a2

．那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k_OM•k_AB=

 

．

Answer 1

分析：先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则根据中点坐标公式有

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

．将A，B的坐标代入双曲线方程得：

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

-

y 2 2

b2

=1．两式相减得后结合直线的斜率公式即得k_OM•k_AB=

b2

a2

．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则有

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

．
∵

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

-

y 2 2

b2

=1．
两式相减得

x 2 1 - x 2 2

a2

=

y 2 1 - y 2 2

b2

，即

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
∴

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=

b2

a2

，即k_OM•k_AB=

b2

a2

．
故答案为：

b2

a2

．

点评：本题主要考查了类比推理、圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．