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椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,如对于椭圆有如下命题:AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOM•kAB=-
b2
a2
.那么对于双曲线则有如下命题:AB是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOM•kAB=
 
分析:先设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则根据中点坐标公式有
x0=
x1+x2
2
y0=
y1+y2
2
.将A,B的坐标代入双曲线方程得:
x
2
1
a2
-
y
2
1
b2
=1
x
2
2
a2
-
y
2
2
b2
=1
.两式相减得后结合直线的斜率公式即得kOM•kAB=
b2
a2
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则有
x0=
x1+x2
2
y0=
y1+y2
2

x
2
1
a2
-
y
2
1
b2
=1
x
2
2
a2
-
y
2
2
b2
=1

两式相减得
x
2
1
-
x
2
2
a2
=
y
2
1
-
y
2
2
b2
,即
(x1-x2)(x1+x2)
a2
=
(y1-y2)(y1+y2)
b2

(y1-y2)(y1+y2)
(x1-x2)(x1+x2)
=
b2
a2
,即kOM•kAB=
b2
a2

故答案为:
b2
a2
点评:本题主要考查了类比推理、圆锥曲线的共同特征.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.
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椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,对于椭圆有如下命题:已知A、F、B分别是优美椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)(离心率为黄金分割比
5
-1
2
的椭圆)的左顶点、右焦点和上顶点,则AB⊥BF.那么对于双曲线则有如下命题:已知A、F、B分别是优美双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)(离心率为黄金分割比的倒数
5
+1
2
的双曲线)的左顶点、右焦点和其虚轴的上端点,则有(  )

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A.AB⊥BF
B.AF⊥BF
C.AB⊥AF
D.AB∥BF

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