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椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,对于椭圆有如下命题:已知A、F、B分别是优美椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)(离心率为黄金分割比
5
-1
2
的椭圆)的左顶点、右焦点和上顶点,则AB⊥BF.那么对于双曲线则有如下命题:已知A、F、B分别是优美双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)(离心率为黄金分割比的倒数
5
+1
2
的双曲线)的左顶点、右焦点和其虚轴的上端点,则有(  )
分析:根据图象可知AB2=a2+b2=c2,BF2=b2+c2=2c2-a2,进而根据
c
a
=
5
+1
2
求得AF2=
6+2
5
4
c2,进而表示出AB2+BF2,最后可得AF2=AB2+BF2,根据勾股定理判断出AB⊥BF.
解答:解:如图,AB2=a2+b2=c2,BF2=b2+c2=2c2-a2
c
a
=
5
+1
2

c2
a2
=
6+2
5
4

∴AF2=(
5
-1
2
c+c)2=
(
5
+1)2
4
c2=
6+2
5
4
c2
而AB2+BF2=c2+2c2-a2=3c2-(
5
-1
2
c)2=3c2-
6-2
5
4
c2=
6+2
5
4
c2
∴AF2=AB2+BF2,故AB⊥BF.
故选A
点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.要利用好双曲线标准方程中的a,b和c的关系.
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椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,如对于椭圆有如下命题:AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOM•kAB=-
b2
a2
.那么对于双曲线则有如下命题:AB是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOM•kAB=
 

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A.AB⊥BF
B.AF⊥BF
C.AB⊥AF
D.AB∥BF

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