Question

已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

5

2

，虚轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得：

c

a

=

5

2

，2b=2，易得双曲线标准方程；
（Ⅱ））设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²-8mkx-4（m²+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=-1，代入即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由已知得：

c

a

=

5

2

，2b=2，又a²+b²=c²，解得a=2，b=1，
∴双曲线的标准方程为

x2

4

-y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²-8mkx-4（m²+1）=0，
有

1-4k2＞0 △=64m2k2+16(1-4k2)(m2+1)＞0 x1+x2= 8mk 1-4k2 ＜0 x1x2= -4(m2+1) 1-4k2 ＞0

，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-4k2

1-4k2

，
以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），
∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0，
∴

m2-4k2

1-4k2

+

-4(m2+1)

1-4k2

+

16mk

1-4k2

+4=0，
∴3m²-16mk+20k²=0．
解得m=2k或m=

10k

3

．
当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（-2，0），与已知矛盾；
当m=

10k

3

时，l的方程为y=k（x+

10

3

），直线过定点（-

10

3

，0），经检验符合已知条件．
故直线l过定点，定点坐标为（-

10

3

，0）．

点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．