Question

已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，，若.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证:是上的减函数；
（3）求函数在区间上的值域.

Answer 1

(1)证明：见解析；
（2）证明：见解析；（3）函数在区间上的值域为.

（1）赋值求出，即证出为奇函数；（2）利用函数单调性定义和奇函数证出是上的减函数；（3）由（2）得函数在区间上的最大值是；最小值是.
(1)证明：的定义域为,令,则， 令,则，即.
，故为奇函数.    4分
（2）证明：任取且,
则 
又，，，
即.
故是上的减函数.       8分
（3）解:
又为奇函数,
由(2)知是上的减函数,
所以当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为. 11分
所以函数在区间上的值域为.     12分