Question

已知向量

OM

=(cosx，1)，

ON

=(cosx-

3

sinx，1)，x∈R，定义函数f(x)=

OM

•

ON

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）说明函数f（x）的图象可由y=cosx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算积及和差角公式可进行化简求解；
（2）根据图象的平移、伸缩变换规律可求解；

解答：解：（1）f(x)=

OM

•

ON

=cosx(cosx-

3

sinx)+1=cos²x-

3

sinxcosx+1
=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1
=cosx(2x+

π

3

)+

3

2

，
∴f(x)=cos(2x+

π

3

)+

3

2

；
（2）先将函数y=cosx的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的

1

2

，得到函数y=cos2x的图象；再将函数y=cos2x的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=cos(2x+

π

3

)的图象；最后将函数y=cos(2x+

π

3

)的图象向上平移

3

2

个单位，即可得到函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+

3

2

的图象．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、三角恒等变换及图象变换，属基础题，熟记有关公式是解决问题的基础．