Question

已知双曲线系Γ _n：（

x

n+1

）²-（ny）²=1（n∈N^*），记第n条双曲线的渐近线的斜率为k_n（k_n＞0），则k₁+k₂+…k_n=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：Γ _n：（

x

n+1

）²-（ny）²=1的渐近线的方程为y=±

1

n(n+1)

x，可得k_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： 解：Γ _n：（

x

n+1

）²-（ny）²=1的渐近线的方程为y=±

1

n(n+1)

x，
∵第n条双曲线的渐近线的斜率为k_n（k_n＞0），
∴k_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴k₁+k₂+…+k_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故答案为：

n

n+1

．

点评：本题考查双曲线的渐近线的斜率，考查裂项法求和，比较基础．