Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且tanC+3tanB=0．
（1）求∠A的最大值；
（2）若b²+2a=c²，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由已知化简可得tanA=

-2tanC

tan2C+3

≤

3

3

，所以有A≤

π

6

，即A的最大值为

π

6

；
（2）由（1）可求得a+2bcosC=0，又由余弦定理可得2a²+b²-c²=0，结合已知即可求出a的值．

解答： 解：（1）tanC+3tanB=0
⇒sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0
⇒sin（B+C）+2sinBcosC=0
⇒sinA+2sinBcosC=0
⇒sinA+2（sinAcosC+cosAsinC）cosC=0
化简整理可得：tanA=

-2sinCcosC

1+2cos2C

=

-2sinCcosC

sin2C+3cos2C

=

-2tanC

tan2C+3

；
因为tanC＜0，所以：tanA=

-2

-(-tanC+ 3 -tanC )

≤

3

3

，所以：A≤

π

6

，即A的最大值为

π

6

．
（2）b²+2a=c²…①
而又有（1）得sinA+2sinBcosC=0，
故由正弦定理可知a+2bcosC=0，又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
所以得2a²+b²-c²=0…②
由①②联立可解得：a=1．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，所以中档题．