Question

已知在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=5，a_n=2a_n-1-a_n-2+4（n≥3）．
（1）求证：数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）已知式子变形可得（a_n-a_n-1）-（a_n-1-a_n-2）=4，可得数列{a_n-a_n-1}是公差为4等差数列；
（2）进而可得数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是公差为4，首项为3的等差数列，可得a_n-a_n-1=4n-1，累加法可得．

解答： 解：（1）∵当n≥3时，a_n=2a_n-1-a_n-2+4，
∴（a_n-a_n-1）-（a_n-1-a_n-2）=4
∴数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是公差为4等差数列；
（2）∵a₁=2，a₂=5，∴a₂-a₁=5-2=3，
∴数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是公差为4，首项为3的等差数列，
∴a_n-a_n-1=3+4（n-1）=4n-1，
∴a₂-a₁=7，a₃-a₂=11，…a_n-a_n-1=4n-1，
以上n-1个式子相加可得a_n-a₁=

(n-1)(7+4n-1)

2

，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n²+n-1

点评：本题考查等差数列的判定和数列的递推公式，属基础题．