Question

已知点F为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，过F的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）若点A为椭圆的上顶点，满足AF=2FB，且椭圆的右准线方程为x=3

3

，求椭圆的标准方程；
（2）若点A，B在椭圆的右准线上的射影分别为A₁，B₁（如图所示），求证：∠A₁FB₁为锐角．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可知，A（0，b），F（c，0），

a2

c

=3

3

．设B（x₀，y₀），由已知条件推导出

c

a

=

3

3

．由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设直线AB：x=my+c，设A1(

a2

c

，y1)，B1(

a2

c

，y2)，由

x=my+c x2 a2 + y2 b2 =1

，得（a²+b²m²）y²+2mcb²y-b⁴=0，由此能推导出

FA1

•

FB1

=(

a2

c

-c，y1)(

a2

c

-c，y2)=

b6(1+m2)

c2(a2+b2m2)

＞0，从而得到∠A₁FB₁为锐角．

解答： （1）解：由题意可知，A（0，b），F（c，0），

a2

c

=3

3

．…（1分）
设B（x₀，y₀），则

AF

=(c，-b)，

FB

=(x0-c，y0)，
因为AF=2FB，所以

AF

=2

FB

．…（3分）
即（c，-b）=（x₀-c，y₀）
所以

2(x0-c)=c 2y0=-b

，解得

x0= 3 2 c y0=- b 2

…（5分）
又因为点B在椭圆上，
所以

( 3 2 c)2

a2

+

b2 4

b2

=1，解得

c

a

=

3

3

．
所以a=3，c=

3

，b=

6

．
因此椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

6

=1．…（7分）
（2）证明：设直线AB：x=my+c，（设斜率但不讨论不存在扣1分）…（9分）
设A1(

a2

c

，y1)，B1(

a2

c

，y2)，
由

x=my+c x2 a2 + y2 b2 =1

，联立得（a²+b²m²）y²+2mcb²y-b⁴=0，
所以y1y2=-

b4

a2+b2m2

，…（11分）
所以

FA1

•

FB1

=(

a2

c

-c，y1)(

a2

c

-c，y2)
=(

b2

c

)2+y1y2
=

b4

c2

-

b4

a2+b2m2

=

b6(1+m2)

c2(a2+b2m2)

＞0，…（14分）
又因为cos∠A1FB1=

FA1•FB1

|FA1|•|FB1|

＞0，…（15分）
所以∠A₁FB₁为锐角．  …（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查角为锐角的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．