Question

已知二次函数f(x)=x²+ax（）．

（1）若函数y=f(sinx+cosx)()的最大值为，求f(x)的最小值；

（2）当a>2时,求证：f(sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求的值域，再讨论a的范围，根据最大值，求最小值；（2）利用导数先求sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x的值域，再根据二次函数求结论.

试题解析：(1)令，，        2分

，当a<0时，t=–2时，，

解得：

此时，．            2分

当时，t=2时，，解得：

此时，

综合上述，条件满足时，的最小值为              2分

(2)x∈R，且

又，故设，则有

设(其中t∈(0，1))           2分

             2分

令，得

当时，，所以在(0，)单调递减，

当时，，所以在(，1)单调递增，

时取最小值等于

即有          3分

当a>2时，的对称轴，

上单调递增，

          2分

考点：1、利用导数求函数的单调性；2、二次函数；3、导数与二次函数、三角函数的综合应用.