Question

13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$
（Ⅰ）求证：A，B，C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（2cos²$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|
的最小值为-1，求实数m的值；
（Ⅲ）若点A（2，0），在y轴正半轴上是否存在点B满足OC²=AC•BC，若存在，求点B的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$变形可得$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，进而可得结论；
（Ⅱ）通过二倍角公式化简可得B（1+cosx，cosx），进而可得$\overrightarrow{AB}$=（cosx，0）、C（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx），代入化简可得f（x）=（cosx-m）²+1-m²，结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]即cosx∈[0，1]，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三种情况考虑即可；
（Ⅲ）通过设B（0，t），t＞0，利用$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$可得C（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t）、进而有$\overrightarrow{AC}=（{-\frac{4}{3}，\frac{2t}{3}}）$、$\overrightarrow{CB}=（{-\frac{2}{3}，\frac{t}{3}}）$，代入${\overrightarrow{OC}^2}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
又∵$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$有公共点A，
∴A、B、C三点共线；
（Ⅱ）解：∵2cos²$\frac{x}{2}$=1+cosx，cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$=cosx，
∴B（1+cosx，cosx），
又∵A（1，cosx），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1+cosx，cosx）-（1，cosx）=（cosx，0），
又∵$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴C（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|
=1+$\frac{2}{3}$cosx+cos²x-（2m+$\frac{2}{3}$）cosx
=（cosx-m）²+1-m²，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]．
当m＜0时，cosx=0时，f（x）取得最小值1，与已知相矛盾；
当0≤m≤1时，cosx=m时，f（x）取得最小值1-m²，
∴1-m²=-1，即m=±$\sqrt{2}$（舍）；
当m＞1时，cosx=1时，f（x）取得最小值2-2m，
由2-2m=-1，得m=$\frac{3}{2}$＞1．
综上：m=$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）结论：在y轴正半轴上存在点$B（{0，\sqrt{2}}）$满足OC²=AC•BC．
理由如下：
设B（0，t），t＞0，
∵A（2，0），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$
=$\frac{1}{3}$（2，0）+$\frac{2}{3}$（0，t）
=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t），
∴$\overrightarrow{AC}=（{-\frac{4}{3}，\frac{2t}{3}}）$，$\overrightarrow{CB}=（{-\frac{2}{3}，\frac{t}{3}}）$，
∵${\overrightarrow{OC}^2}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{4}{9}+\frac{4}{9}{t^2}=\frac{8}{9}+\frac{2}{9}{t^2}$，
解得t²=2，即$t=±\sqrt{2}$，
又∵t＞0，
∴$t=\sqrt{2}$，即存在$B（{0，\sqrt{2}}）$．

点评 本题考查是一道关于平面向量的综合题，涉及到三角函数、向量数量积运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．