Question

1．过椭圆$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{5}$=1内的一点P（2，-1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是5x-3y-13=0（写成直线的一般式方程）．

Answer 1

分析 设过点P的弦与椭圆交于A₁，A₂两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线A₁A₂的斜率，根据点斜式即可求得直线的方程．

解答 解：设过点P的弦与椭圆交于A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂）两点，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，且x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
由$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{6}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{5}$=0，
∴$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）-$\frac{2}{5}$（y₁-y₂）=0，
∴A₁A₂的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{5}{3}$．
∴弦所在直线方程为y+1=$\frac{5}{3}$（x-2），
即5x-3y-13=0．
故答案为：5x-3y-13=0．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．