Question

【题目】设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足|x﹣3|≤1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0

当a=1时，1＜x＜3，

即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．

由|x﹣3|≤1，得﹣1≤x﹣3≤1，得2≤x≤4，

即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，

若p∧q为真，则p真且q真，

所以实数x的取值范围是2≤x＜3．

（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，p是q的充分不必要条件，

即pq，且qp，设A={x|p}，B={x|q}，则AB，

又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x＞4 或 x＜2}，

则3a＞4且a＜2，其中a＞0，

所以实数a的取值范围是 ．

【解析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．