Question

2．有一块铁皮零件，其形状是由边长为30cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=8cm，BF=6cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=xcm，矩形DMPN的面积为ycm²．
（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？

Answer 1

分析 （1）依据题意并结合图形，可知：1⁰当点P在线段CB上；2⁰当点P在线段BA上，分别求解函数的解析式．
（2）利用（1）知，当0＜x≤24时，当24＜x≤30时，分别求解函数的最大值即可

解答 解：（1）依据题意并结合图形，可知：
1⁰当点P在线段CB上，即0＜x≤24时，y=30x；
2⁰当点P在线段BA上，即24＜x≤30时，
由PQ：QA=BF：FA，得QA=40-$\frac{4}{3}$x．
于是，y=DM•PM=DM•EQ=62x-$\frac{4}{3}$x²．
所以，y=$\left\{\begin{array}{l}30x，0＜x≤24\\ 62x-\frac{4}{3}{x}^{2}，24＜x≤30\end{array}\right.$，定义域D=（0，30]．
（2）由（1）知，当0＜x≤24时，0＜y≤720；
当24＜x≤30时，y=62x-$\frac{4}{3}$x²=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{93}{4}$）²+$\frac{2883}{4}$≤$\frac{2883}{4}$，
当且仅当x=$\frac{93}{4}$时，等号成立．
但$\frac{93}{4}$∉（24，30]，
故当x=24时，y的最大值为720，
答：先在DE上截取线段DM=24cm，所得矩形面积最大，最大面积为720cm²．

点评 本题考查函数的实际应用，函数的最值的求法，分段函数的解析式以及最值的求解，考查计算能力．