Question

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₂的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：△APD∽△CPE；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=4，PC=2，BD=6，求AD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）连结AB，由已知条件利用弦切角定理和圆周角定理，能证明△APD∽△CPE．
（2）由APD∽△CPE，得

AP

PC

=

DP

PE

=2，6+BP=2PE，又BP•PE=AP•PC=8，由此求出BP=2，从而能求出AD=6

2

．

解答： （1）证明：连结AB，
由已知条件利用弦切角定理和圆周角定理，得：
∠PEC=∠PAB=∠ADP，
由对顶角性质得∠EPC=∠DPA，
∴△APD∽△CPE．
（2）解：∵△APD∽△CPE，PA=4，PC=2，BD=6，
∴

AP

PC

=

DP

PE

=2，
∴6+BP=2PE，
又∵BP•PE=AP•PC=8，
∴BP（3+

1

2

BP）=8，
解得BP=2，或BP=-8（舍），
∴BP=2，PE=

1

2

(6+2)=4，
∴AD²=BD•DE=6×（6+2+4）=72，
∴AD=6

2

．

点评：本题考查两三角形相似的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、圆周角定理、切割线定理的合理运用．