Question

（2012•韶关二模）数列{a_n}对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+1，a₃=2．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若bn=(

1

3

)an+n，求{b_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=1数列{a_n}是等差数列，且公差d=1，再由a₃=2，求出首项，从而得到{a_n}通项公式．
（2）由（1）得，bn=(

1

3

)n-1+n，拆项后分别利用等比数列的前n项和公式以及等差数列的前n项和公式，运算求得结果．

解答：解：（1）由已知得a_n+1-a_n=1数列{a_n}是等差数列，且公差d=1．…（2分）
又a₃=2，得a₁=0，所以　a_n=n-1．…（4分）
（2）由（1）得，bn=(

1

3

)n-1+n，
所以Sn=(1+1)+(

1

3

+2)+…+(

1

3

)n-1+n=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

+(1+2+3+…+n)，…（6分）
故 Sn=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

n(n+1)

2

=

3-31-n

2

+

n(n+1)

2

．…（12分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式，等比数列的前n项和公式及其应用，属于中档题．